$\lambda$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 4y - \lambda z = 0$,$4x + \lambda y + 2z = 0$,અને $\lambda x + 2y + 2z = 0$ ને અનંત ઉકેલો મળે.

ધારો કે $\lambda, \mu \in R$. જો સમીકરણ સંહતિ
$3x + 5y + \lambda z = 3$
$7x + 11y - 9z = 2$
$97x + 155y - 189z = \mu$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\mu + 2\lambda$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $n$ એ એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતી સંખ્યા છે. જો સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x-ny+z=6$
$x+(n-2)y+(n+1)z=8$
$(n-1)y+z=1$
નો ઉકેલ અનન્ય હોય તેની સંભાવના $\frac{k}{6}$ હોય, તો $k$ અને $n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

નીચેના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4$,$\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1$,અને $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2$.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જ્યાં $\det(A) = 1$. જો સમીકરણ $\det(A - \lambda I_2) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોય (જ્યાં $I_2$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે), તો:

ધારો કે $\lambda \in R$. સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$2x_{1} - 4x_{2} + \lambda x_{3} = 1$
$x_{1} - 6x_{2} + x_{3} = 2$
$\lambda x_{1} - 10x_{2} + 4x_{3} = 3$
માટે અસંગત છે: