मान लीजिए f(x) = int_0^x (t + sin(1 - e^t)) d | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt$. हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ ज्ञात करना है।चूंकि $f(0) = 0$ और हर $x = 0$

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$-\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt$. हमें $\lim_{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ ज्ञात करना है।चूंकि $f(0) = 0$ और हर $x = 0$ पर $0$ है,हम $L'H	ext{ôpital's Rule}$ का उपयोग करते हैं:$\lim_{x ightarrow 0} \frac{f'(x)}{3x^2} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{x + \sin(1 - e^x)}{3x^2}$.पुनः $L'H	ext{ôpital's Rule}$ लागू करने पर:$\lim_{x ightarrow 0} \frac{1 + \cos(1 - e^x) \cdot (-e^x)}{6x}$.टेलर विस्तार $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ और $\cos(	heta) \approx 1 - \frac{	heta^2}{2}$ का उपयोग करने पर:$1 - e^x \approx -x - \frac{x^2}{2}$.$\cos(1 - e^x) \approx 1 - \frac{(-x - \frac{x^2}{2})^2}{2} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$.मान प्रतिस्थापित करने पर:$\lim_{x ightarrow 0} \frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 + x + \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{1 - (1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{-x}{6x} = -\frac{1}{6}$.

मान लीजिए $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt, x \in R$. तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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