ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.

ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે જે $f'(x) = f(x)$ નું પાલન કરે છે અને $f(0) = 1$ છે,અને $g(x)$ એવું વિધેય છે જે $f(x) + g(x) = x^2$ નું પાલન કરે છે. તો સંકલન $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

આપેલ છે કે દરેક $a \in (0,1)$ માટે,લક્ષ $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુમાં,આપેલ છે કે વિધેય $g(a)$ એ $(0,1)$ પર વિકલનીય છે.
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ અને $2$ માટે સાચી જોડ પસંદ કરો.

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x)$ એ $f^{\prime}(x)=f(x)$ નું પાલન કરતું વિધેય હોય અને $f(0)=1$ હોય,તથા $g(x)$ એવું વિધેય હોય કે જે $f(x)+g(x)=x^2$ નું પાલન કરે છે,તો સંકલન $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ જ્યાં $x \in R$ એવું વિધેય છે જે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ નું સમાધાન કરે છે. તો $(a+b)$ ની કિંમત $............$ છે.