मान लीजिए कि int_alpha^{log _e 4} frac{dx}{sq | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ है।मान लीजिए $e^{x}-1=t^2$,तो $e^x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $dx

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$2 x^2-5 x+2=0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ है।मान लीजिए $e^{x}-1=t^2$,तो $e^x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{2t dt}{t^2+1}$।जब $x = \log_e 4$,तो $t = \sqrt{e^{\log_e 4}-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$।जब $x = \alpha$,तो $t = \sqrt{e^\alpha-1}$।समाकलन $\int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{2t dt}{t(t^2+1)} = 2 \int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{t^2+1} = 2 [	an^{-1} t]_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}}$ हो जाता है।यह $2(	an^{-1} \sqrt{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = 2(\frac{\pi}{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = \frac{\pi}{6}$ के बराबर है।$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है,इसलिए $	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$।अतः,$\sqrt{e^\alpha-1} = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$,जिसका अर्थ है $e^\alpha-1 = 1$,इसलिए $e^\alpha = 2$।तब $e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$।$2$ और $\frac{1}{2}$ मूल वाला द्विघात समीकरण $(x-2)(x-\frac{1}{2}) = 0$ है,जो $x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$ या $2x^2 - 5x + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।

मान लीजिए कि $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$. तो $e^\alpha$ और $e^{-\alpha}$ किस समीकरण के मूल हैं:

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$\int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \,dx = $

$\int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx = $

$\int_{8}^{18} \frac{1}{(x+2) \sqrt{x-3}} \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^4 x} \, dx = $

$\int_{\log _e 2}^x \frac{d t}{\sqrt{e^t-1}}=\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=$

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