मान लीजिए g(x) = log(f(x)) जहाँ f(x),(0, inft | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।इसका अर्थ है $g(x+1) = g

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$-4\left\{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{(2N-1)^2}\right\}$

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(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।इसका अर्थ है $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,या $g(x+1) - g(x) = \log(x)$।$x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।हमें $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ ज्ञात करना है।हम इसे एक टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$।संबंध $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $x = k - \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करते हैं:$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$।$k=1$ से $N$ तक योग करने पर:$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$।यह $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ में सरल हो जाता है।

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यदि $y_k$,$x$ के सापेक्ष $y$ का $k$-वाँ अवकलज है,और $y = \cos(\sin x)$ है,तो $y_1 \sin x + y_2 \cos x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{1}{\left(\frac{dx}{dy}\right)}$ और $\frac{d^2x}{dy^2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = k$ है, तो $e^{k f(x)} - k f(x) =$

यदि $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$ है,तो ${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = $

$\begin{aligned} & y=\sin \left(\log \left(x^2+2 x+1\right)\right) \\ & \Rightarrow(x+1)^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+(x+1) \frac{d y}{d x}= \end{aligned}$

यदि $y = \sin(\sin x)$ और $y'' + f(x) \cdot y' + g(x) \cdot y = 0$ है,तो $f(x) \cdot g(x) =$

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