ધારો કે g(x) = log(f(x)) જ્યાં f(x) એ (0, inf | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \log(f(x))$ અને $f(x+1) = x f(x)$.બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$.આનો અર્થ એ થાય કે $g(x+1) = g(x)

Vedclass · Accepted Answer

$-4\left\{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{(2N-1)^2}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $g(x) = \log(f(x))$ અને $f(x+1) = x f(x)$.બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$.આનો અર્થ એ થાય કે $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,અથવા $g(x+1) - g(x) = \log(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,આપણને $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.આપણે $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ શોધવા માંગીએ છીએ.આને આપણે ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળા તરીકે લખી શકીએ:$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$.સંબંધ $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x = k - \frac{1}{2}$ મૂકીએ:$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$.$k=1$ થી $N$ સુધીનો સરવાળો કરતા:$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$.આનું સાદું રૂપ $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ થાય છે.

Similar Questions

જો $2x = y^{1/5} + y^{-1/5}$ અને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ હોય,તો $\lambda + k$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = 10 \cos x + (13 + 2x) \sin x$ હોય, તો $f''(x) + f(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$, જ્યાં $a, b$ પ્રાચલો છે, તો $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}$ ની કિંમત શોધો.

$y=7 \sin x+5 \cos x$ માટે,જો $\frac{d^2 y}{d x^2}-m y=0$ હોય,તો $m=$ . . . . . .

જો $y = \tan^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{d^{2} y}{dx^{2}} : \frac{dy}{dx}$ શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module