मान लीजिए m सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है,जिस | vedclass

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Question

(C) विस्तार में $x^2$ का गुणांक इस प्रकार है:$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r-

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(C) विस्तार में $x^2$ का गुणांक इस प्रकार है:$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${^2C_2} = {^3C_3}$.अतः,योग ${^3C_3} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = {^4C_3} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ हो जाता है।इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,पहले $49$ पदों का योग ${^{50}C_3}$ प्राप्त होता है।अतः,कुल गुणांक ${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ है।हमें दिया गया है कि यह $(3n+1) \cdot {^{51}C_3}$ के बराबर है।ध्यान दें कि ${^{51}C_3} = {^{50}C_3} + {^{50}C_2}$.अतः,${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = (3n+1)({^{50}C_3} + {^{50}C_2})$.सरल करने पर,$16 + m^2 = 51n + 17$ प्राप्त होता है।$m^2 = 51n + 1$.$n=5$ के लिए,$m^2 = 256 = 16^2$,अतः $m=16$.इस प्रकार,$n$ का मान $5$ है।

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$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}$ के द्विपद विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या $183$ है:

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