ધારો કે $m$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે કે જેથી $(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots+(1+x)^{49}+(1+mx)^{50}$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(3n+1)^{51}C_3$ થાય. તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1}-\frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં '$x$' થી સ્વતંત્ર પદ,જ્યાં $x \neq 0, 1$,તે $.....$ ની બરાબર છે.

ધારો કે $(3+6x)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$6x$ ની વધતી જતી ઘાતોમાં,$x=\frac{3}{2}$ માટે $9$ મું પદ સૌથી મોટું છે. જો $n_{0}$ એ $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય જેના માટે આ શરત સાચી પડે,અને $k$ એ $x^{6}$ ના સહગુણક અને $x^{3}$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર હોય,તો $k + n_{0}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(3+7x)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $r$-માં અને $(r+1)$-માં પદના સહગુણકો સમાન હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $l, m, n$ એ $\left(a x^2+\frac{b}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં અનુક્રમે $x^{10}$ નો સહગુણક,અચળ પદ અને $x^{-10}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે. જો $\frac{l}{m}+\frac{m}{n}=\frac{26}{11}$ હોય,તો $a^2: b^2=$

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક સહગુણકોનો ગુણોત્તર $6 : 33 : 110$ હોય,તો $n =$