मान लीजिए S,R से R तक के सभी दो बार अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $S$,$R \rightarrow R$ पर सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ हो।इसका अर्

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$A, B, C$

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(A) मान लीजिए $S$,$R \rightarrow R$ पर सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ हो।इसका अर्थ है कि $f$ का आलेख अंतराल $(-1, 1)$ पर सख्ती से अवतल ऊपर की ओर (concave upward/convex) है।मान लीजिए $\phi(x) = f(x) - x$ है। तब $\phi''(x) = f''(x) - 0 = f''(x) > 0$,सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए।चूंकि $\phi''(x) > 0$ है,फलन $\phi(x)$ सख्ती से उत्तल (strictly convex) है।एक सख्ती से उत्तल फलन $x$-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।इसलिए,समीकरण $\phi(x) = 0$,जो $f(x) = x$ के समान है,के अंतराल $(-1, 1)$ में अधिकतम दो हल हो सकते हैं।अतः,प्रत्येक $f \in S$ के लिए $X_f \leq 2$ होता है,जो कथन $(B)$ को सत्य बनाता है।उपयुक्त उत्तल फलनों को चुनकर,हम ऐसे उदाहरण बना सकते हैं जहाँ $X_f = 0$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 2$),$X_f = 1$ (जैसे,$f(x) = x^2 + x + 0.1$),और $X_f = 2$ (जैसे,$f(x) = x^2 + 0.1$)।चूंकि $X_f$ का मान $0, 1,$ या $2$ हो सकता है,कथन $(A)$ सत्य है,कथन $(C)$ सत्य है,और कथन $(D)$ असत्य है।इसलिए,सही कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ हैं।

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