मान लीजिए $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & 3 & b \\ c & 2 & d \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \right\}$ है। तब $R$ में व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या है

यदि $P$ एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स (आव्यूह) है, इस प्रकार कि $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है), तो $P^{-1}=$

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $\{-1000, -999, \ldots, 999, 1000\}$ समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। मान लीजिए $P$ वह प्रायिकता है कि या तो $A^2 = -I$ है या $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है। तो,

यदि $S = \{x \in [0, 2\pi] : \begin{vmatrix} 0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0 \end{vmatrix} = 0\}$ है,तो $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ एक शून्येतर $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$ है। एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ आव्यूह $M$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तब,कथनों में से:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ यदि trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ तो } R \text{ में केवल एक शून्येतर अवयव है।}$