मान लीजिए A एक 3 times 3 आव्यूह है जिसके अवयव | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) आव्यूह $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है। संभावि

Vedclass · Accepted Answer

$P < \frac{1}{10^{18}}$

Vedclass · Answer

(A) आव्यूह $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है। संभावित आव्यूहों $A$ की कुल संख्या $(2001)^9$ है। स्थिति $1$: $A^2 = -I$. यदि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ द्वारा दिया जाता है। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि $A^2 = -I$ है,तो न्यूनतम बहुपद $x^2 + 1$ को विभाजित करता है। चूंकि न्यूनतम बहुपद की घात को आयाम $3$ को विभाजित करना चाहिए,और $x^2+1$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए वास्तविक (पूर्णांक) अवयवों वाले $3 	imes 3$ आव्यूह के लिए यह असंभव है। अतः,ऐसे आव्यूहों की संख्या $0$ है। स्थिति $2$: $A$ एक विकर्ण आव्यूह है। मान लीजिए $A = 	ext{diag}(a, b, c)$ है। ऐसे आव्यूहों की संख्या $(2001)^3$ है। अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(2001)^3$ है। प्रायिकता $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ द्वारा दी जाती है। हमारे पास $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 	imes 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ है। चूंकि $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,इसलिए $P अतः,$P < \frac{1}{10^{18}}$।

Similar Questions

मान लीजिए $B=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि एक आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि $BAC=I$,तो $A^{-1}=$

यदि $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3-\lambda \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1-\lambda & 1 & 3\end{array}\right|=A \lambda^3+B \lambda^2+C \lambda+D$ है, तो $D+A=$

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$ और $\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = 0$ है,तो $\alpha$ का एक संभावित मान है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module