मान लीजिए f: R rightarrow R एक ऐसा फलन है कि | vedclass

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Question

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चू

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$f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है

Vedclass · Answer

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।अब,किसी भी $x \in R$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$।चूंकि $f^{\prime}(x) = k$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक अचर फलन है।$f^{\prime}(x) = k$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = kx + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$,अतः $f(x) = kx$।एक रैखिक फलन $f(x) = kx$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय होता है।अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

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