मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल हैं,जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$ और $b_1=1$ तथा $b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2$ परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_{n+2}-1$ सभी $n \geq 1$ के लिए
$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{10^n} = \frac{8}{89}$
$(4)$ $b_n = \alpha^n+\beta^n$ सभी $n \geq 1$ के लिए

• A
  $1, 2, 4$
• B
  $1, 2$
• C
  $1, 2, 3$
• D
  $2, 3$