मान लीजिए कि b एक शून्येतर वास्तविक संख्या है | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त

Vedclass · Accepted Answer

$A, C$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{b^2+x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|f(x)| = \frac{1}{b} 	an^{-1}\left(\frac{x}{b}ight) + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = \frac{1}{b} 	an^{-1}(0) + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
अतः,$f(x) = e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{x}{b})}$ है।
अब,$f(x)f(-x) = e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{x}{b})} \cdot e^{\frac{1}{b} 	an^{-1}(\frac{-x}{b})} = e^{\frac{1}{b} (	an^{-1}(\frac{x}{b}) - 	an^{-1}(\frac{x}{b}))} = e^0 = 1$ है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$b>0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2} > 0$ क्योंकि $f(x) = e^{\dots} > 0$ और $b^2+x^2 > 0$ है। अतः,$f$ एक वर्धमान फलन है। इसलिए,$(A)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$ और $(C)$ हैं।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

Similar Questions

$(0, \pi)$ में एक सतत अवकलनीय फलन $\phi (x)$ जो $y' = 1 + y^2$ और $y(0) = 0 = y(\pi)$ को संतुष्ट करता है,वह है

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module