यदि f(x), f^{prime}(x), f^{prime prime}(x) धन | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}ight|=0$ सारणिक का विस्ता

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$e^{2 x}$

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(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}ight|=0$ सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x) f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^2$ दोनों पक्षों को $f(x) f^{\prime}(x)$ से विभाजित करने पर: $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} dx = \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx$ $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ शर्तों $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln(2) = \ln(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = \ln(2)$ अतः,$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(2) = \ln(2f(x))$ $\Rightarrow f^{\prime}(x) = 2f(x)$ $\Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ पुनः समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$ $\ln(f(x)) = 2x + C_2$ $f(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = 2(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$ इस प्रकार,$\ln(f(x)) = 2x \Rightarrow f(x) = e^{2x}$ अतः,सही विकल्प $A$ है।

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