જો f(x), f^{prime}(x), f^{prime prime}(x) ધન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}ight|=0$ નિશ્ચાયકનું વિસ્તર

Vedclass · Accepted Answer

$e^{2 x}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}ight|=0$ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^2$ બંને બાજુ $f(x) f^{\prime}(x)$ વડે ભાગતા: $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} dx = \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx$ $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ શરતો $f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2) = \ln(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = \ln(2)$ તેથી,$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(2) = \ln(2f(x))$ $\Rightarrow f^{\prime}(x) = 2f(x)$ $\Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ ફરીથી સંકલન કરતા: $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$ $\ln(f(x)) = 2x + C_2$ $f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1) = 2(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$ આમ,$\ln(f(x)) = 2x \Rightarrow f(x) = e^{2x}$ તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ નો ઉકેલ છે જે $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $y$ નીચેનામાંથી કોનું સમાધાન કરે છે?

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y - \cos y = x$ એ વિકલ સમીકરણ $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ નો ઉકેલ છે.

જો $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ હોય,તો $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module