વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ એ અતિવલયના કુળનું નિરૂપણ કરે છે (જ્યારે તે રેખાઓની જોડીનું નિરૂપણ કરે છે તે સિવાય),તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી હશે?

ધારો કે $f:(-1,1) \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x \in (-1,1)$ માટે $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ અને $f(0)=0$ નું પાલન કરે છે. આવા વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો વિકલ સમીકરણ $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ બધા $x$ માટે સાચું હોય, જ્યાં $f(0) = 1$ અને $f'(0) = 2$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને સ્તંભ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં સમીકરણ $x e^{\sin x}-\cos x=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે સમતલો $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ અને $2 x+2 y+z=0$ એક સીધી રેખામાં છેદે છે	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે	$(r)$ $3$
$(D)$ જો $y^{\prime}=y+1$ અને $y(0)=1$ હોય,તો $y(\ln 2)$ નું મૂલ્ય	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

ધારો કે $(1, 1)$ અને $(\frac{1}{10}, 100)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $PA: PB = 1: k$ હોય અને $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0) = 2$,તો $4y(1) - 5 \log_e 3$ ની કિંમત શોધો.

$(0, \pi)$ માં સતત વિકલનીય વિધેય $\phi (x)$ જે $y' = 1 + y^2$ અને $y(0) = 0 = y(\pi)$ નું પાલન કરે છે,તે છે