$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ का व्यापक हल है

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र को $\theta$ कोण पर काटता है। तो,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

${y^5}x + y - x\frac{{dy}}{{dx}} = 0$ का हल है

$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $b$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(0)=1$ है। यदि $f$ का अवकलज $f^{\prime}$ समीकरण $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ को संतुष्ट करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $b>0$ है,तो $f$ एक वर्धमान फलन है
$(B)$ यदि $b < 0$ है,तो $f$ एक ह्रासमान फलन है
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ सभी $x \in R$ के लिए
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ सभी $x \in R$ के लिए

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$