$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $S = (0, 2 \pi) - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right\}$. ધારો કે $y = y(x)$,$x \in S$,એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ છે. જો વક્ર $y = y(x)$ અને વક્ર $y = \sqrt{2} \sin x$ ના તમામ છેદબિંદુઓના યામોનો સરવાળો $\frac{k \pi}{12}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

જો રૂપાંતરણ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ ને $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y$ એ $x$ નું વિધેય હોય,તો $\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = 0$ છે. જો $x$ એ $y$ નું વિધેય હોય,તો સમીકરણ શું બનશે?

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.