मान लीजिए $f$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, जहाँ $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान . . . . . . है।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x+y+2)^2 dx=dy$,$y(0)=-2$ का हल है। माना अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ में फलन $y=y(x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। यदि $(3\alpha+\pi)^2+\beta^2=\gamma+\delta\sqrt{3}$,जहाँ $\gamma, \delta \in Z$ है,तो $\gamma+\delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: किसी परवलय पर किसी बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल,जिसका अक्ष $x$-अक्ष है और शीर्ष मूल बिंदु पर है,बिंदु $P$ की कोटि (ordinate) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कथन $-2$: परवलयों का निकाय $y^2 = 4ax$ घात $1$ और कोटि $1$ के अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

यदि अवकल समीकरण $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ सभी $x$ के लिए सत्य है, जहाँ $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।