माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x+y+2)^2 dx=dy$,$y(0)=-2$ का हल है। माना अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ में फलन $y=y(x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। यदि $(3\alpha+\pi)^2+\beta^2=\gamma+\delta\sqrt{3}$,जहाँ $\gamma, \delta \in Z$ है,तो $\gamma+\delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f:[0, \infty) \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in[0, \infty)$ के लिए $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(1,2)$ से गुजरता है
$(B)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(2,-1)$ से गुजरता है
$(C)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-2}{4}$ है
$(D)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-1}{4}$ है

$(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि $y$,$x$ का एक फलन है,तो $\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = 0$ है। यदि $x$,$y$ का एक फलन है,तो समीकरण क्या होगा?

वह वक्र जो अवकल समीकरण $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ को संतुष्ट करता है, $(1, 0)$ से गुजरता है और वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ को $\theta$ कोण पर काटता है। तो $\frac{2\theta}{\pi} =$

वक्र $y=y(x)$ पर किसी भी बिंदु $(x, y), x > 0, y > 0$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ द्वारा दी गई है। यदि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,तो $e \cdot y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।