वह वक्र जो अवकल समीकरण x y , dy - (1 + y^2) , | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$. चरों को अलग करने पर, हमें मिलता है $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$. दोनों प

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$. चरों को अलग करने पर, हमें मिलता है $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{y}{1 + y^2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$. $\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \ln|x| + C$. चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है, इसलिए $\frac{1}{2} \ln(1 + 0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$. अतः, $\ln(1 + y^2) = 2 \ln|x| \Rightarrow 1 + y^2 = x^2$. वक्र $x^2 - y^2 = 1$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$. वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$. प्रतिच्छेदन बिंदु पर, $x^2 = 1 + y^2$. $x^2 + 3y^2 = 3$ में मान रखने पर: $(1 + y^2) + 3y^2 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2}$. तब $x^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. प्रतिच्छेदन बिंदु पर, $m_1 m_2 = (\frac{x}{y})(-\frac{x}{3y}) = -\frac{x^2}{3y^2} = -\frac{3/2}{3(1/2)} = -1$. चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है, इसलिए वक्र $	heta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर काटते हैं। अतः, $\frac{2	heta}{\pi} = \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1$.

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मान लीजिए $f(x) = e^{ax} + e^{bx},$ जहाँ $a \neq b,$ और सभी $x$ के लिए $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ है। तो गुणनफल $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ है,तो $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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माना $y$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है। तब, $y$ संतुष्ट करता है:

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