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Question

(C) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.$e^x$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f

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$B, C$

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(C) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.$e^x$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -2e^{-x} - (1 - 2x)e^{-x} + e^{-x} f(x)$.सरल करने पर,$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x)$,अतः $f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।$I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-2x}) = (2x - 3)e^{-2x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-2x} = \int (2x - 3)e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} + \int e^{-2x} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C = -x e^{-2x} + e^{-2x} + C$.इस प्रकार,$f(x) = -x + 1 + C e^{2x}$.मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$. $f(x)$ में रखने पर,$1 = 0 + 1 + C$,अतः $C = 0$.इसलिए,$f(x) = 1 - x$.विकल्पों की जाँच करने पर:$(A)$ $f(1) = 1 - 1 = 0 
eq 2$. $(A)$ गलत है।$(B)$ $f(2) = 1 - 2 = -1$. $(B)$ सही है।$(C)$ क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x)) dx = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - x + \frac{x^2}{2}]_0^1 = (0 + \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{1}{2}) - (0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi-2}{4}$. $(C)$ सही है।अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

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