ધારો કે f:[0, infty) rightarrow R એક સતત વિધે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.$e^x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.લીબનીઝના

Vedclass · Accepted Answer

$B, C$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.$e^x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-x} f(x) = (1 - 2x)e^{-x} + \int_0^x e^{-t} f(t) dt$.લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -2e^{-x} - (1 - 2x)e^{-x} + e^{-x} f(x)$.સરળ બનાવતા,$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x)$,તેથી $f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે.$I.F.$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} (f(x) e^{-2x}) = (2x - 3)e^{-2x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) e^{-2x} = \int (2x - 3)e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} + \int e^{-2x} dx = -x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C = -x e^{-2x} + e^{-2x} + C$.આમ,$f(x) = -x + 1 + C e^{2x}$.મૂળ સમીકરણ પરથી,$x=0$ આગળ,$f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$. $f(x)$ માં મૂકતા,$1 = 0 + 1 + C$,તેથી $C = 0$.તેથી,$f(x) = 1 - x$.વિકલ્પો તપાસતા:$(A)$ $f(1) = 1 - 1 = 0 
eq 2$. $(A)$ ખોટું છે.$(B)$ $f(2) = 1 - 2 = -1$. $(B)$ સાચું છે.$(C)$ ક્ષેત્રફળ $= \int_0^1 (\sqrt{1-x^2} - (1-x)) dx = [\frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x - x + \frac{x^2}{2}]_0^1 = (0 + \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{1}{2}) - (0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi-2}{4}$. $(C)$ સાચું છે.આમ,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x dy = (y + xy^3 (1 + \log_e x)) dx$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે):

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

${y^5}x + y - x\frac{{dy}}{{dx}} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module