ધારો કે S_n = sum_{k=1}^{4n} (-1)^{frac{k(k+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A,D) આપેલ સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ છે. પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 +

Vedclass · Accepted Answer

$(A, D)$

Vedclass · Answer

(A,D) આપેલ સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ છે. પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$. ચાર-ચાર પદોના જૂથ બનાવતા: $S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા: $S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$. $S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$. બંને શ્રેણીઓ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n$ પદો છે. પ્રથમ શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2$. બીજી શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2 + 2n$. $S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$. $n=8$ માટે,$S_8 = 1056$. $n=9$ માટે,$S_9 = 1332$. આમ,$S_n$ ની કિંમતો $1056$ અને $1332$ મળે છે.

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$. તો $S_n$ કઈ કિંમત(ઓ) ધારણ કરી શકે?
$(A) 1056$
$(B) 1088$
$(C) 1120$
$(D) 1332$

Similar Questions

શ્રેણી: $(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + \dots$ ના $10$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $1+(1-2^{2} \cdot 1)+(1-4^{2} \cdot 3)+(1-6^{2} \cdot 5)+\ldots+(1-20^{2} \cdot 19) = \alpha - 220 \beta$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ શું થાય?

જો $S_n = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3$ અને $T_n = 1 + 2 + \ldots + n$ હોય,તો

$6 + 66 + 666 + \dots$ શ્રેણીનો $n$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં ધન પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ એક પૂર્ણાંક થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$. તો $S_n$ કઈ કિંમત(ઓ) ધારણ કરી શકે? $(A) 1056$ $(B) 1088$ $(C) 1120$ $(D) 1332$