ગણ {1, 2, 3, ldots, 100} માં ધન પૂર્ણાંકો n ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને છેદ $\f

Vedclass · Accepted Answer

$34$

Vedclass · Answer

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને છેદ $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.તેમનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{2n+1}{3}$ મળે છે.આ પદાવલિ પૂર્ણાંક બને તે માટે,ધારો કે $\frac{2n+1}{3} = k$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.આનો અર્થ એ છે કે $2n+1 = 3k$,અથવા $2n = 3k-1$.$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $3k-1$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.$1 \leq n \leq 100$ આપેલ હોવાથી,$1 \leq \frac{3k-1}{2} \leq 100$.$2 \leq 3k-1 \leq 200$ $\Rightarrow 3 \leq 3k \leq 201$ $\Rightarrow 1 \leq k \leq 67$.આપણે $[1, 67]$ અંતરાલમાં એકી પૂર્ણાંકો $k$ ની સંખ્યા ગણવાની છે.એકી પૂર્ણાંકો $1, 3, 5, \ldots, 67$ છે.આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$d=2$,અને $l=67$ છે.$l = a + (m-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$67 = 1 + (m-1)2$ $\Rightarrow 66 = 2(m-1)$ $\Rightarrow 33 = m-1$ $\Rightarrow m = 34$.આમ,આવા $34$ પૂર્ણાંકો $n$ છે.

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં ધન પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ એક પૂર્ણાંક થાય?

Similar Questions

જો $n$ એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય કે જેથી $n+2n+3n+\ldots+99n$ એક પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો $n^2$ ના અંકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

પદાવલિ $1.(2 - \omega )(2 - {\omega ^2}) + 2.(3 - \omega )(3 - {\omega ^2}) + ....... + (n - 1).(n - \omega )(n - {\omega ^2}),$ જ્યાં $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,તેનું મૂલ્ય શું છે?

જો $3 + 3\alpha + 3\alpha^2 + \dots \infty = \frac{45}{8}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શું થશે?

$1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots, 5050$ શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી અનંત $G.P.$ નો સરવાળો ક્યારે શોધી શકાય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module