मान लीजिए $S=S_1 \cap S_2 \cap S_3$,जहाँ $S_1=\{z \in \mathbb{C}:|z|<4\}$,$S_2=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}[\frac{z-1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}]>0\}$,और $S_3=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} z>0\}$.
$1.$ $S$ का क्षेत्रफल $=$
$(A) \frac{10 \pi}{3} \quad (B) \frac{20 \pi}{3} \quad (C) \frac{16 \pi}{3} \quad (D) \frac{32 \pi}{3}$
$2.$ $\min _{z \in S}|1-3 i-z|=$
$(A) \frac{2-\sqrt{3}}{2} \quad (B) \frac{2+\sqrt{3}}{2} \quad (C) \frac{3-\sqrt{3}}{2} \quad (D) \frac{3+\sqrt{3}}{2}$

(B,C) $1.$ $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=4$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है।
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
क्षेत्र $S$,डिस्क $x^2+y^2 < 16$,अर्ध-समतल $y > -\sqrt{3}x$,और अर्ध-समतल $x > 0$ का प्रतिच्छेदन है। यह $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ रेडियन कोण वाला एक वृत्तीय सेक्टर बनाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ हमें बिंदु $P(1, -3)$ से क्षेत्र $S$ तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है। $S$ की सीमा में $x > 0$ के लिए रेखा $y = -\sqrt{3}x$ शामिल है।
$(1, -3)$ से रेखा $\sqrt{3}x + y = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ है।