मान लीजिए f : [a, b] rightarrow [1, infty) एक | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,हम $x = a$ और $x = b$ पर $g(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।$x = a$ पर: $\lim_{x \rightarrow a^-} g(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow a^

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$g(x)$ बिंदु $b$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है

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(C) सबसे पहले,हम $x = a$ और $x = b$ पर $g(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।$x = a$ पर: $\lim_{x ightarrow a^-} g(x) = 0$ और $\lim_{x ightarrow a^+} g(x) = \int_a^a f(t) dt = 0$. चूँकि $g(a) = 0$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = a$ पर सतत है।$x = b$ पर: $\lim_{x ightarrow b^-} g(x) = \int_a^b f(t) dt$ और $\lim_{x ightarrow b^+} g(x) = \int_a^b f(t) dt$. चूँकि $g(b) = \int_a^b f(t) dt$,इसलिए $g(x)$ बिंदु $x = b$ पर सतत है।अतः,$g(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।अब,$g'(x) = \begin{cases} 0 & x  b \end{cases}$ का उपयोग करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।$x = a$ पर: $g'(a^-) = 0$ और $g'(a^+) = f(a)$. चूँकि $f(a) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(a) 
eq 0$,अतः $g'(a^-) 
eq g'(a^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।$x = b$ पर: $g'(b^-) = f(b)$ और $g'(b^+) = 0$. चूँकि $f(b) \in [1, \infty)$,इसलिए $f(b) 
eq 0$,अतः $g'(b^-) 
eq g'(b^+)$. इस प्रकार,$g(x)$ बिंदु $x = b$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,$g(x)$ बिंदु $a$ और $b$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

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