मान लीजिए alpha, beta समीकरण x^2-ax-b=0 के मू | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $x^2-ax-b=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ संबंध $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=-b$ को संतुष्ट करते हैं।चूंकि $P_n = \alpha^n - \beta

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$31$

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(B) दिए गए समीकरण $x^2-ax-b=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ संबंध $\alpha+\beta=a$ और $\alpha\beta=-b$ को संतुष्ट करते हैं।चूंकि $P_n = \alpha^n - \beta^n$ है,इसलिए हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध $P_n = aP_{n-1} + bP_{n-2}$ है।$P_6 = aP_5 + bP_4$ का उपयोग करने पर,हमें $45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $11a - 3b = 45$ बनता है।$P_5 = aP_4 + bP_3$ का उपयोग करने पर,हमें $11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-3a - 5b = 11$ बनता है।इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=3$ और $b=-4$ प्राप्त होता है।हमें $|\alpha^4+\beta^4|$ ज्ञात करना है। ध्यान दें कि $(\alpha^4+\beta^4)^2 = (\alpha^4-\beta^4)^2 + 4\alpha^4\beta^4 = P_4^2 + 4(\alpha\beta)^4$ है।मान प्रतिस्थापित करने पर,$P_4^2 = (-3\sqrt{7}i)^2 = 9 	imes 7 	imes (-1) = -63$ है।साथ ही,$4(\alpha\beta)^4 = 4(-b)^4 = 4(-(-4))^4 = 4(256) = 1024$ है।अतः,$(\alpha^4+\beta^4)^2 = -63 + 1024 = 961$ है।इसलिए,$|\alpha^4+\beta^4| = \sqrt{961} = 31$ है।

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