मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण 2 cos x frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$ है। $2 \cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} = \fra

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 \cos x \frac{d y}{d x} = \sin 2x - 4y \sin x$ है। $2 \cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} - \frac{4y \sin x}{2 \cos x} = \sin x - 2y 	an x$। इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{d y}{d x} + 2y 	an x = \sin x$। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है। $I.F.$ से गुणा करने पर: $y \sec^2 x = \int \sin x \sec^2 x \, dx = \int 	an x \sec x \, dx = \sec x + C$। चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर: $0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$। अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है। अब,$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$। आगे,$y^{\prime}(x) = -\sin x - 4 \cos x(-\sin x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x = -\sin x + 2 \sin 2x$। $y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$। अंत में,$y^{\prime}(\frac{\pi}{4}) + y(\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}} + 2) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1$।

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