मान लीजिए A=begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $P = \begin{bmatrix} \cos 	heta & -\sin 	heta \ \sin 	heta & \cos 	heta \end{bmatrix}$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^T P

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$65$

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(A) दिया गया है कि $P = \begin{bmatrix} \cos 	heta & -\sin 	heta \ \sin 	heta & \cos 	heta \end{bmatrix}$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $P^T P = I$ और $P^T = P^{-1}$।दिया गया है $B = P A P^T$।तब $C = P^T B^{10} P = P^T (P A P^T)^{10} P = P^T (P A^{10} P^T) P = (P^T P) A^{10} (P^T P) = I A^{10} I = A^{10}$।अतः,$C$ के विकर्ण तत्वों का योग $A^{10}$ का ट्रेस (trace) है।$A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$।एक मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & d \end{bmatrix}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} a^n & b(a^{n-1} + a^{n-2}d + \dots + d^{n-1}) \ 0 & d^n \end{bmatrix}$ होता है।$A^{10}$ के विकर्ण तत्व $a^{10}$ और $d^{10}$ हैं।यहाँ $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $d = 1$ है।ट्रेस$(A^{10}) = a^{10} + d^{10} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} + 1^{10} = \frac{1}{2^5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32}$।दिया गया है $\frac{m}{n} = \frac{33}{32}$ जहाँ $\operatorname{gcd}(33, 32) = 1$,इसलिए $m = 33$ और $n = 32$ है।अतः,$m + n = 33 + 32 = 65$।

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