मान लीजिए $|z_1 - 8 - 2i| \leq 1$ और $|z_2 - 2 + 6i| \leq 2$,जहाँ $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ है। तो $|z_1 - z_2|$ का न्यूनतम मान क्या है?

मान लीजिए $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_{10}$ धनात्मक मान वाले कोण (रेडियन में) हैं,इस प्रकार कि $\theta_1+\theta_2+\ldots+\theta_{10}=2 \pi$ है। सम्मिश्र संख्याओं $z_1=e^{i \theta_1}, z_k=z_{k-1} e^{i \theta_k}$ को परिभाषित करें,जहाँ $k=2,3, \ldots, 10$ और $i=\sqrt{-1}$ है। नीचे दिए गए कथनों $P$ और $Q$ पर विचार करें:
$P: |z_2-z_1|+|z_3-z_2|+\ldots+|z_{10}-z_9|+|z_1-z_{10}| \leq 2 \pi$
$Q: |z_2^2-z_1^2|+|z_3^2-z_2^2|+\ldots+|z_{10}^2-z_9^2|+|z_1^2-z_{10}^2| \leq 4 \pi$
तब,

मान लीजिए $u = \frac{2z + i}{z - ki}$, जहाँ $z = x + iy$ और $k > 0$ है। यदि $\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ द्वारा निरूपित वक्र $y$-अक्ष को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है जहाँ $PQ = 5$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$PQ$ और $PR$ दो अनंत किरणें हैं। $QAR$ एक चाप है। छायांकित क्षेत्र में स्थित बिंदु,सीमा को छोड़कर,निम्नलिखित में से किस शर्त को संतुष्ट करता है?

यदि $|z-3 i|+|z+5 i|=4$ है,तो $z$ का बिंदुपथ क्या है?

समीकरण $z^{2}+\overline{z}=0$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है।