समीकरण z^{2}+overline{z}=0 के हलों की संख्या | vedclass

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Question

(B) माना $z = x + iy$. तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. दिया गया है $z^{2} + \overline{z} = 0$,अतः $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. वास्तविक

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$4$

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(B) माना $z = x + iy$. तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. दिया गया है $z^{2} + \overline{z} = 0$,अतः $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$. वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर: $x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$ $y(2x - 1) = 0$ (ii) (ii) से,$y = 0$ या $x = 1/2$. स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इससे $z = 0$ और $z = -1$ हल मिलते हैं। स्थिति $2$: यदि $x = 1/2$,तो $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. इससे $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ और $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ हल मिलते हैं। अतः,कुल $4$ हल हैं।

समीकरण $z^{2}+\overline{z}=0$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है।

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