माना $f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी $x \geq 1$ के लिए $10 \int_1^{x} f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$ है,तो $f(3)$ का मान है:

अवकल समीकरण $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ का व्यापक हल है

मान लीजिए कि किसी बिंदु $P(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{xy^2 + y}{x}$ द्वारा दिया गया है। यदि वक्र रेखा $x + 2y = 4$ को $x = -2$ पर काटता है,तो $y$ का वह मान,जिसके लिए बिंदु $(3, y)$ वक्र पर स्थित है,है ..... .

सभी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $y_1(x), y_2(x)$,और $y_3(x)$ ऐसे फलन हैं जो $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; और $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} y = 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$ का हल वक्र $y = y(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ का हल वक्र है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।