ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \geq 1$ માટે $10 \int_1^{x} f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$ હોય,તો $f(3)$ નું મૂલ્ય શોધો:

ધારો કે $y(x)$ એ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in [0, \infty)$ માટે $f(x) = 1 - 2x + \int_0^x e^{x-t} f(t) dt$ થાય છે. તો $y = f(x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$. જો $y^{\prime} + y f^{\prime}(x) - f(x) f^{\prime}(x) = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$ હોય, તો (જ્યાં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$):

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(y+1) \tan ^{2} x \,dx+\tan x \,dy+y \,dx=0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. જો $\lim _{x \rightarrow 0+} x y(x)=1$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y' + y\phi'(x) - \phi(x)\phi'(x) = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $\phi(x)$ એક જાણીતું વિધેય છે: (જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે)