मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + 3 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(	an^2 x + 1)y = \sec^2 x$ है।चूंकि $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$,समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\sec^2 x)y = \sec^

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$\frac{4}{3}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(	an^2 x + 1)y = \sec^2 x$ है।चूंकि $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$,समीकरण $\frac{dy}{dx} + 3(\sec^2 x)y = \sec^2 x$ में सरल हो जाता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3\sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3\sec^2 x dx} = e^{3	an x}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot e^{3	an x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3	an x} dx + C$.मान लीजिए $u = 3	an x$,तो $du = 3\sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.$y \cdot e^{3	an x} = \int e^u \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3}e^{3	an x} + C$.दिया है $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$,$x=0$ पर $	an(0)=0$,इसलिए $y(0) \cdot e^0 = \frac{1}{3}e^0 + C \Rightarrow \frac{1}{3} + e^3 = \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = e^3$.अतः,$y \cdot e^{3	an x} = \frac{1}{3}e^{3	an x} + e^3$.$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$	an\left(\frac{\pi}{4}ight) = 1$.$y\left(\frac{\pi}{4}ight) \cdot e^3 = \frac{1}{3}e^3 + e^3 = \frac{4}{3}e^3$.इसलिए,$y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{4}{3}$.

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