मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना वक्र $y = f(x)$ है। किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + y$.य

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$x+y+1=e^{x}$

Vedclass · Answer

(A) माना वक्र $y = f(x)$ है। किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + y$.यह $\frac{dy}{dx} - y = x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।यहाँ,$P = -1$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + C$ है।$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx + C$.$\int x e^{-x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x+1)$.अतः,$y e^{-x} = -e^{-x}(x+1) + C$.$e^{x}$ से गुणा करने पर,हमें $y = -(x+1) + C e^{x}$ प्राप्त होता है,जिसे $x + y + 1 = C e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:$0 + 0 + 1 = C e^{0} \Rightarrow 1 = C(1) \Rightarrow C = 1$.$C=1$ को समीकरण में रखने पर,हमें $x + y + 1 = e^{x}$ प्राप्त होता है।

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