यदि y=y(x) समीकरण e^{sin y} cos y frac{dy}{dx | vedclass

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Question

(D) माना $e^{\sin y} = t$ है। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है। दिया गया अवकल स

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(D) माना $e^{\sin y} = t$ है। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है। दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ बन जाता है। यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \cos x$ और $Q(x) = \cos x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ है। हल $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ है। माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$ है। अतः,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$ है। $t = e^{\sin y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ प्राप्त होता है। चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,जिसका अर्थ है $1 \cdot 1 = 1 + c$,इसलिए $c = 0$ है। इस प्रकार,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,जो सरल होकर $e^{\sin y} = 1$ हो जाता है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\sin y = 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $y = 0$ है। अतः,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,और $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है। अतः,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$।

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