ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2) = 1$ અને $f'(2) = 4$ થાય. જો $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ હોય,તો વક્ર $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$ એ $x$-અક્ષને કેટલી વાર છેદે છે?

ધારો કે $f(x) = ax^2 - b|x|$,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે. તો $x = 0$ આગળ,$f(x)$ પાસે

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 1 \\ ax^2 + b, & |x| < 1 \end{cases}$ એ દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે. તો $a$ અને $b$ શોધો.

List-$I$ માં આપેલી વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$a$. જો $y=|x|+|x-2|$ હોય, તો $x=2$ આગળ $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. જો $f(x)=|\cos 2x|$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. જો $f(x)=\sin(\pi[x])$ હોય, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે, તો $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. જો $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

ધારો કે $f$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે,જ્યાં $f(x)=\ln x+\int_0^x \sqrt{1+\sin t} \, dt$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)$ એ તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $f^{\prime}$ એ $(0, \infty)$ પર સતત છે,પરંતુ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય નથી
$(C)$ એવું $\alpha>1$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x \in(\alpha, \infty)$ માટે $|f^{\prime}(x)|<|f(x)|$ થાય
$(D)$ એવું $\beta>0$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે $|f(x)|+|f^{\prime}(x)| \leq \beta$ થાય

ધારો કે $f:(-2,2) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $m$ અને $n$ એ $(-2,2)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $y = |f(x)|$ અસતત અને વિકલનીય ન હોય,તો $m + n$ ની કિંમત $...........$ થાય.