मान लीजिए f,mathbb{R} पर एक अवकलनीय फलन है,जह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$। यह $1^\infty$ रूप है।सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \rig

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$2$

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(A) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$। यह $1^\infty$ रूप है।सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$e^{\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x)-1) \cdot \frac{3}{x}} = e^{3 f'(2)} = e^{3 \cdot 4} = e^{12}$।अतः,$\alpha = 12$।अब,वक्र समीकरण में $\alpha = 12$ रखने पर:$y = 4x^3 - 4x^2 - 4(12-7)x - 12 = 4x^3 - 4x^2 - 20x - 12$।$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:$4(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$।मूलों की जाँच करने पर,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$।$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - 2x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x+1)^2(x-3) = 0$ हैं।मूल $x = -1$ (पुनरावृत्ति) और $x = 3$ हैं।अतः,वक्र $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

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यदि $y=|\cos x-\sin x|+|\tan x-\cot x|$ है,तो $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=\frac{\pi}{3}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=\frac{\pi}{6}}=$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. तो:

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$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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