मान लीजिए f(x)=x-1 और g(x)=e^x जहाँ x in R है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$। सबसे पहले,$g(f(f(x)))$ ज्ञात करें: $f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$. $g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$. अवकल

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$\frac{e-1}{e^4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$। सबसे पहले,$g(f(f(x)))$ ज्ञात करें: $f(f(x)) = f(x-1) = (x-1)-1 = x-2$. $g(f(f(x))) = g(x-2) = e^{x-2}$. अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\sqrt{x}} = e^{-2 \sqrt{x}} \cdot e^{x-2} = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है। यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ और $Q(x) = e^{x-2 \sqrt{x}-2}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$ है। हल $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है। $y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = \int e^{x-2 \sqrt{x}-2} \cdot e^{2 \sqrt{x}} dx + C = \int e^{x-2} dx + C = e^{x-2} + C$. $y(0)=0$ का उपयोग करने पर: $0 \cdot e^0 = e^{0-2} + C \implies 0 = e^{-2} + C \implies C = -e^{-2}$. अतः,$y \cdot e^{2 \sqrt{x}} = e^{x-2} - e^{-2}$. $x=1$ पर: $y \cdot e^2 = e^{1-2} - e^{-2} = e^{-1} - e^{-2} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2} = \frac{e-1}{e^2}$. इसलिए,$y(1) = \frac{e-1}{e^4}$.

मान लीजिए $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$ जहाँ $x \in R$ है। यदि $\frac{d y}{d x}=\left(e^{-2 \sqrt{x}} g(f(f(x)))-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)$ और $y(0)=0$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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