मान लीजिए कि f(x) सभी वास्तविक x के लिए धनात् | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = (1-h) + h = 1$ है। $I_1$ पर यह गुणधर्म लागू करने पर: $I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)(1-(1-x))) dx$ $I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)x) dx$ $I_1 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx - \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ $I_1 = I_2 - I_1$ $2I_1 = I_2$ अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2}$।

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