मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(A) $g(x)$ के $x=3$ पर सतत होने के लिए,$K = \lim_{x 	o 3} g(x) = \lim_{x 	o 3} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt$ होना चाहिए। चूंकि $x 	o 3$ होने प

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(A) $g(x)$ के $x=3$ पर सतत होने के लिए,$K = \lim_{x 	o 3} g(x) = \lim_{x 	o 3} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt$ होना चाहिए। चूंकि $x 	o 3$ होने पर समाकलन $\frac{0}{0}$ रूप में है (क्योंकि $f(3)=3$),हम ला-हॉस्पिटल नियम और लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $I(x) = \int_3^{f(x)} 3t^2 dt$. तब $g(x) = \frac{I(x)}{x-3}$. ला-हॉस्पिटल नियम के अनुसार,$K = \lim_{x 	o 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt}{\frac{d}{dx} (x-3)}$. लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int_3^{f(x)} 3t^2 dt = 3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)$. अतः,$K = \lim_{x 	o 3} \frac{3(f(x))^2 \cdot f^{\prime}(x)}{1} = 3(f(3))^2 \cdot f^{\prime}(3)$. दिए गए मान $f(3)=3$ और $f^{\prime}(3)=\frac{1}{27}$ रखने पर: $K = 3 \cdot (3)^2 \cdot \frac{1}{27} = 3 \cdot 9 \cdot \frac{1}{27} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$.

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