मान लीजिए कि $P$ समतल $x-y+z=3$ के सापेक्ष बिंदु $(3,1,7)$ का प्रतिबिंब है। तो $P$ से गुजरने वाले और सरल रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(3, 8, 2)$ की रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3}$ से समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है ($\text{ इकाई}$ में)?

समतलों $x+2y+3z-4=0$ और $4x+3y+2z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले और मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण है

मान लीजिए $P$ समतल $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है और $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ और } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ की समतल } P \text{ से दूरी } \frac{7}{2} \text{ है}\right\}$ है। मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ समुच्चय $S$ में तीन भिन्न सदिश हैं जैसे कि $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$। मान लीजिए $V$ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है। तो $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान ज्ञात कीजिए।

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

समतल का सदिश समीकरण प्राचलिक रूप में, जो बिंदुओं $A(-1, 2, 0)$ और $B(2, 2, -1)$ से होकर गुजरता है और रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{2y + 1}{2} = \frac{z + 1}{-1}$ के समांतर है, है: