ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ $\vec{v}$,જેનો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $1/\sqrt{3}$ છે,તે નીચેનામાંથી કયો છે?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ જેનો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ માન ધરાવે છે,તે શોધો.

વિધાન $(A)$: $a, b, c, d$ એ $4$ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો છે જેથી $2a - 3b + 7c - 6d = 0 \Rightarrow a, b, c, d$ સમતલીય છે.
કારણ $(R)$: $a, b, c$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. જો $\overrightarrow{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ થાય,તો $|\overrightarrow{r}|$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $\bar{a} \times \bar{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} \times \bar{d} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ થાય. જો $\begin{vmatrix} \bar{a} \cdot \bar{c} & \bar{b} \cdot \bar{c} \\ \bar{a} \cdot \bar{d} & \bar{b} \cdot \bar{d} \end{vmatrix} = 0$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}=6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-12 \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. જો $\vec{p}$ એ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ હોય અને $\vec{q}$ એ $\vec{c}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ હોય, તો $13 \vec{p}=$ ($\vec{q}$ માં)