मान लीजिए alpha और beta समीकरण p x^2 + q x + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $p x^2 + q x + r = 0$ के मूल हैं। चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है। $\

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$\frac{2 \sqrt{13}}{9}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $p x^2 + q x + r = 0$ के मूल हैं। चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है। $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$ से,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = 4$ प्राप्त होता है। विएटा के सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{-q/p}{r/p} = -\frac{q}{r} = 4$,जिससे $q = -4r$ प्राप्त होता है। चूंकि $p + r = 2q$ है,इसलिए $p + r = 2(-4r) = -8r$,जिसका अर्थ है $p = -9r$। अब,$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|p|} = \frac{\sqrt{q^2 - 4pr}}{|p|}$। $q = -4r$ और $p = -9r$ रखने पर: $|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{(-4r)^2 - 4(-9r)(r)}}{|-9r|} = \frac{\sqrt{16r^2 + 36r^2}}{9|r|} = \frac{\sqrt{52r^2}}{9|r|} = \frac{2|r|\sqrt{13}}{9|r|} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$। अतः,सही विकल्प $D$ है।

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