मान लीजिए a, b और c तीन धनात्मक वास्तविक संख् | vedclass

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Question

(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)[3\lambda(

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$\lambda < \frac{4}{3}$

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(C) द्विघात समीकरण $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)[3\lambda(ab+bc+ca)] \geq 0$$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$$(a+b+c)^2 - 3\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) - 3\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$$a^2+b^2+c^2 \geq (3\lambda-2)(ab+bc+ca)$$\lambda \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3(ab+bc+ca)} + \frac{2}{3}$चूँकि $a, b, c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a+b > c$,$b+c > a$,और $c+a > b$ है। इससे असमिका $a^2+b^2+c^2 $(ab+bc+ca)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $\lambda$ के व्यंजक में यह मान रखने पर:$\lambda < \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

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