मान लीजिए f: R^{+} rightarrow R^{+} एक फलन है | vedclass

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Question

(C) दिया गया संबंध $f(x f(y)) = f(x y) + x$ है। चूंकि $f(x) - x = \lambda$,इसलिए $f(x) = x + \lambda$ है। इसे फलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $f(

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$\frac{2}{3}$

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(C) दिया गया संबंध $f(x f(y)) = f(x y) + x$ है। चूंकि $f(x) - x = \lambda$,इसलिए $f(x) = x + \lambda$ है। इसे फलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x(y + \lambda)) = (xy + \lambda) + x$ $x(y + \lambda) + \lambda = xy + \lambda + x$ $xy + x\lambda + \lambda = xy + \lambda + x$ पदों की तुलना करने पर,हमें $x\lambda = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 1$। अतः,$f(x) = x + 1$। अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x + 1)^{\frac{1}{3}} - 1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}} - 1}$ मानक सीमा सूत्र $\lim _{u \rightarrow 1} \frac{u^n - 1}{u - 1} = n$ का उपयोग करने पर: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}} - 1}{(1 + x) - 1} \cdot \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$।

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