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Question

(C) दिया गया है $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$.माना $g(x) = 2f(x)$ है। तब $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$ होगा।चूंकि $g(1) = 2f(1) = 4 =

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$4$

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(C) दिया गया है $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$.माना $g(x) = 2f(x)$ है। तब $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$ होगा।चूंकि $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$,इसलिए $g(x) = 2^{2x}$ होगा।अतः,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$ होगा।अब,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$ होगा।हमें दिया गया है कि $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ है।दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$ होगा।$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$।

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