ધારો કે f : N rightarrow R એક વિધેય છે જેથી પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x+y) = 2f(x)f(y)$ અને $f(1) = 2$.ધારો કે $g(x) = 2f(x)$. તો $g(x+y) = 2f(x+y) = 4f(x)f(y) = g(x)g(y)$.અહીં $g(1) = 2f(1) = 4 = 2^2$ હોવાથી,$g(x) = 2^{2x}$ મળે.તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 2^{2x-1}$.હવે,$\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \sum_{k=1}^{10} 2^{2(\alpha+k)-1} = 2^{2\alpha-1} \sum_{k=1}^{10} 2^{2k} = 2^{2\alpha-1} \cdot 4 \cdot \frac{4^{10}-1}{4-1} = 2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3}$.આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} f(\alpha+k) = \frac{512}{3}(2^{20}-1) = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.બંને પદોને સરખાવતા: $2^{2\alpha+1} \cdot \frac{2^{20}-1}{3} = \frac{2^9}{3}(2^{20}-1)$.$2^{2\alpha+1} = 2^9 \implies 2\alpha+1 = 9 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$.

Similar Questions

જો $\phi (x) = a^x$ હોય,તો $\{ \phi (p) \} ^3$ કોના બરાબર થાય?

જો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ અને $x=3, 4, 5, \ldots$ માટે $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ હોય,તો $f(9)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે એક વિધેય $f : R \rightarrow R$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $3f(2x^2 - 3x + 5) + 2f(3x^2 - 2x + 4) = x^2 - 7x + 9$ દરેક $x \in R$ માટે,તો $f(5)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module